Grundlegend für viele Abstandsberechnungen ist die Berechnung der Entfernung zweier Punkte. Sie beruht auf dem Satz des Pythagoras.
Punkt - Ebene
Die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene geht am schnellsten mit Hilfe der Hesseschen Normalenform der Ebenengleichung.
Wird auch der Lotfußpunkt benötigt, berechnet man den Schnittpunkt der Lotgeraden (vom Punkt auf die Ebene) mit der Ebene und berechnet die Entfernung der Punkte.
Die Frage nach dem Abstand einer Geraden von einer Ebene ist nur sinnvoll, wenn die Gerade parallel ist zur Ebene. Es reicht dann, den Abstand eines Punktes der Geraden von der Ebene zu berechnen.
Die Frage nach dem Abstand zweier Ebenen ist nur sinnvoll, wenn die Ebenen parallel sind. Es reicht dann, den Abstand eines Punktes der einen Ebene von der anderen Ebene zu berechnen.
Punkt - Gerade
Die Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Geraden kann auf zwei Arten erfolgen:
1. Man bestimmt eine Hilfsebene, die den Punkt enthält und orthogonal zur Geraden ist. Die Entfernung des gegebenen Punktes von dem Schnittpunkt von Gerade und Hilfsebene ist der gesuchte Abstand.
2. Man verwendet einen "laufenden Punkt". Gesucht ist derjenige Punkt, für den die Verbindung mit dem gegebenen Punkt orthogonal ist zur Geraden. Die Abstandsberechnung erfolgt dann wieder über die Berechnung der Entfernung zweier Punkte.
Die Frage nach dem Abstand zweier Geraden ist in zwei Fällen sinnvoll.
Bei parallelen Geraden reicht es, den Abstand eines Punktes der einen Geraden von der anderen Geraden zu bestimmen.
Im Fall windschiefer Geraden ist die Sache komplizierter. Man verwendet zwei "laufende Punkte", auf jeder Geraden einen. Gesucht sind die Punkte auf den beiden Geraden, für die die Verbindung orthogonal ist zu beiden Geraden. Die Abstandsberechnung erfolgt dann wieder über die Berechnung der Entfernung zweier Punkte.